CaisseOutilsCalculateur PGCD et PPCM en ligne
Entrez deux nombres entiers positifs : l'outil calcule le PGCD avec le détail des étapes de l'algorithme d'Euclide, ainsi que le PPCM.
Étapes de l'algorithme d'Euclide
| Dividende | Diviseur | Quotient | Reste |
|---|
Comment ça marche
Le PGCD (plus grand commun diviseur) est calculé par l'algorithme d'Euclide : on divise le plus grand nombre par le plus petit, on note le reste, puis on recommence avec le diviseur et le reste, jusqu'à obtenir un reste nul. Le dernier diviseur non nul est le PGCD. Le tableau ci-dessus montre chaque division.
Le PPCM (plus petit commun multiple) se déduit ensuite par la formule PPCM(a, b) = (a × b) ÷ PGCD(a, b). Pour 48 et 18 : (48 × 18) ÷ 6 = 144.
En pratique, le PGCD sert à simplifier les fractions (48/18 = 8/3 en divisant par 6), tandis que le PPCM sert à additionner des fractions de dénominateurs différents ou à synchroniser des événements périodiques.
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Questions fréquentes
Qu'est-ce que le PGCD de deux nombres ?
Le PGCD (plus grand commun diviseur) est le plus grand nombre entier qui divise exactement deux nombres. Par exemple, PGCD(48, 18) = 6, car 6 est le plus grand diviseur commun à 48 et 18.
Comment fonctionne l'algorithme d'Euclide ?
On divise le plus grand nombre par le plus petit et on garde le reste, puis on recommence avec le diviseur et le reste, jusqu'à obtenir un reste nul. Le dernier diviseur non nul est le PGCD. Pour 48 et 18 : 48 = 18 × 2 + 12, puis 18 = 12 × 1 + 6, puis 12 = 6 × 2 + 0, donc PGCD = 6.
Qu'est-ce que le PPCM ?
Le PPCM (plus petit commun multiple) est le plus petit nombre entier multiple à la fois des deux nombres. Il se calcule avec la formule : PPCM(a, b) = (a × b) ÷ PGCD(a, b). Par exemple, PPCM(48, 18) = 864 ÷ 6 = 144.
À quoi servent le PGCD et le PPCM ?
Le PGCD sert à simplifier les fractions (rendre une fraction irréductible) et intervient en cryptographie. Le PPCM sert à additionner des fractions de dénominateurs différents et à résoudre des problèmes de cycles (par exemple, quand deux événements périodiques coïncident).
Que signifie un PGCD égal à 1 ?
Si le PGCD de deux nombres vaut 1, ils sont dits premiers entre eux : ils n'ont aucun diviseur commun autre que 1. C'est le cas par exemple de 14 et 15.